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ウィキペディア ベクトル空間 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2007/05/26 02:34 UTC 版)線型空間（せんけいくうかん、linear space）あるいはベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）とは、和とスカラー倍の定義された集合（代数系）のことである。線形空間、線状空間とも。これは「平面（あるいは空間）上のベクトルすべてを集めた集合」を一般化、抽象化したものであり、したがって逆に、一般のベクトル空間の元のことをベクトル（またはベクター）という。ベクトル空間は線型代数学の主要な対象であり、ベクトル空間とそれに関する手法は数学のあらゆる分野で重要な道具として用いられる。ベクトル自体が元来は速度や加速度、力のように方向を持つ物理量を表すために考案されたものであるので、物理学との関連が深い。量子力学では系のとりうる状態をベクトル空間で表す。 目次1 定義2 基底の存在と次元3 様々なベクトル空間4 部分空間と線型写像5 基底変換と行列6 一般化7 関連項目 定義K は四則演算が自由にできる集合（以下、体と称する）とする。実数全体、複素数全体あるいは有理数全体のなす集合などはそれぞれそのような集合の例である。体 K 上のベクトル空間 V とは、 V には和あるいは加法と呼ばれる演算 "+" が定義されていて、この和についてアーベル群になる。つまり、 V は和について閉じている。つまり v, w が V の元ならば常に v + w は再び V の元になる。 和の交換法則が成り立つ。つまり V の二元 v, w に対して常に v + w = w + v が成り立つ。 零元が存在する。つまり、0 + v = v が V の任意の元 v に対して成立する特別な元 0 がただ一つ存在する。 マイナス元の存在。つまり、V の元 v に対して v + (−v) = 0 となるような特別な元 −v が、どんな v に対してもとれる。 K の元 c と V の元 v が与えられたとき、v のスカラー c 倍と呼ばれる演算 cv ∈ V が定義されている。つまり、 スカラー乗法は結合的である。つまり、v が V の元、c, d が K の元ならば常に、(cd)v = c(dv) が成り立つ。 1K を K の乗法に関する単位元とするとき、V のどんな元 v に対しても 1Kv = v が成り立つ。 和とスカラー倍について分配法則が成り立つ。つまり、K の元 c と V の元 v, w が与えられたとき常に、c(v + w) = cv + cw が成り立つ。また、c, d が K の元で v が V の元であるとき常に ( ..
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定義されたウィキペディアスカラー和とベクトルのことであるウィキペディア26線型空間フリーせんけいくうかん、版空間022007出典ベクトルくうかん、空間倍のベクトル05あるいは百科事典集合代数系とは、34。線形空間、線状空間とも。これはという空間の空間あるいはベクター抽象化したものであり、逆に、ベクトルベクトルすべてをを集めたしたがって一般のベクトル一般化、平面集合上の元のことをまたは。ベクトル用いられる主要な空間は分野で重要なベクトル関する道具として線型代数学の数学のあらゆる対象であり、空間とそれに手法は。ベクトル持つ加速度、方向を自体が深い考案されたものであるので、関連が物理学との力のように表すために元来は物理量を速度や。量子力学では状態をベクトル表す系のとりうる空間で。部分空間と様自由にできる関連項目次元3以下、は定義2空間4基底の四則演算が定義目次1線型写像5存在ととする一般化7称する行列6ベクトル集合基底変換とな体と。実数全体、有理数全体のなす集合の集合などはそれぞれそのような複素数全体あるいは例である。体この演算和について加法と呼ばれる群になるとは、にはベクトルが上の和あるいは空間定義されていて、アーベル。つまり、和については閉じている。つまり元ならば常にの元になるは再びがの。交換法則が立つ成り和の。つまり常にに対して成り立つのが二元。零元が存在する。つまり、対して一つがただ存在する元のに00が成立する特別な任意の元。元のマイナス存在。つまり、どんな特別な元が、0対してに対してもとれるに元のとなるような。呼ばれるスカラーの倍と元演算がが元与えられたとき、とのの定義されている。つまり、スカラー結合的である乗法は。つまり、の常に、の元、がが成り立つが元ならば。に立つ成りがを1の乗法に1単位元とするとき、関する元対してものどんな。分配法則が成り和と倍について立つスカラー。つまり、与えられたときのとが元の成りが常に、立つ元。また、元でがのがの常に元であるとき。
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